Matematika - Kvarta: Jehlany a kužely

Svět, ve kterém žijeme, je třírozměrný prostor, ke kterému podle současné fyziky patří neoddělitelně i čtvrtý rozměr - čas. Díky zraku, našeho nejcennějšího smyslu, se odmalička učíme prostorové orientaci a osvojujeme si základní poznatky o tvaru a velikosti těles a změnách jejich vzájemné polohy, kterých lze různými pohyby v prostoru dosáhnout. V prostorových vztazích se v jisté míře (úměrné složitosti způsobu života) musí "vyznat" každý živý tvor naší planety. 

O tvaru a velikosti těles již jistě přemýšleli pravěcí lidé, když například odhadovali množství materiálu potřebného k výstavbě primitivních obydlí či hledali nejvhodnější formy nádob nebo sýpek. Uplynula dlouhá doba než lidé přešli od pouhého porovnávání objektů k jejich měření a výpočtům podle tvarů a rozměrů těles. Tak starověcí Babyloňané již dokázali počítat objemy pevnostních valů s lichoběžníkovým průřezem, Egypťané znali například postup, jak určit objem sýpky, která má tvar válce. Skutečného mistrovství ve výpočtech objemů různých těles dosáhli matematikové antického Řecka, zejména Archimédes ze Syrakus (3. stol před Kristem) a Pappos z Alexandrie (3. stol. po Kristu). Archimédovo důmyslné odvození vzorců pro objem a povrch koule je snad nejvýraznějším projevem jeho matematické geniality; sám Archimédes si natolik cenil poznatek o tom, že kužel, polokoule a válec o stejných podstavách a výškách mají objemy v poměru 1 : 2 : 3, že si přál mít na svém náhrobku reliéf válce s vepsanou koulí. Stejné vyobrazení pak bylo rovněž raženo na mincích města Syrakus. Druhý zmíněný Řek Pappos Archimédovy vzorce zobecnil, když objevil pravidlo, podle kterého lze určit objem obecného, tzv. rotačního tělesa, tedy tělesa, jež vznikne otáčením rovinného obrazce v prostoru kolem pevné přímky.

Stavby monumentálních náhrobků staroegyptských faraonů nebo majestátně rozlehlých antických chrámů kladly před tehdejší architekty obtížné prostorové úkoly. Nebylo by možné je vyřešit s takovou přesností, jakou dodnes na těchto památkách obdivujeme, bez dokonalého ovládnutí základů stereometrie (geometrie třírozměrného prostoru), k nimž patří určování vzájemných poloh, vzdáleností a odchylek přímek a rovin. Právě s těmito poznatky vás chce naše učebnice seznámit především. I když se třeba nestanete architekty, dobrou prostorovou představivost podloženou znalostí "školní stereometrie" uplatníte i v mnoha dalších oborech přírodních věd, techniky či různých druzích výtvarné činnosti (průmyslový design, navrhování reklamy apod.).  

Úvod

• 1   Přímky a roviny v prostoru
• 2   Kolmost přímek a rovin
•      Cvičení 1
• 3   Vzdálenosti a odchylky
•      Cvičení 2
• 4   Jehlany
•      Cvičení 3
• 5   Kužely
•      Cvičení 4
• 6   Komolé kužely a jehlany
•      Cvičení 5
• 7   Koule
•      Cvičení 6
• 8   Úlohy z matematické olympiády
•      Cvičení 7
• 9   Souhrnná cvičení
•      Výsledky průběžných úkolů
•      Výsledky cvičení
•      Výsledky souhrnných cvičení