Matematika - Sekunda: Výrazy 1

V tomto sešitě nejprve vysvětlíme, jaký význam v matematice mají mocniny a odmocniny a jak se s nimi prakticky počítá. Přitom se seznámíme s novým druhem čísel, kterým dnes říkáme iracionální čísla. Naučíme se používat Pythagorovu větu o pravoúhlých trojúhelnících. Začneme také systematicky počítat s výrazy, v nichž jsou některá čísla nahrazena písmeny. Pootevřeme tak dvířka k jedné z hlavních matematických disciplín, která se nazývá algebra. Její hlavní prostředek - symbolické zápisy - jsou dnes nepostradatelné nejen v ostatních matematických odvětvích, ale i v řadě dalších vědeckých oborů, například ve fyzice.

K výpočtům mocnin a odmocnin přivedli matematiky dávných kultur různé geometrické úlohy. Dochoval se nám klínopisný text Babyloňanů starý asi 4 000 let, ve kterém je popsán postup při přibližném odmocňování čísel. V egyptských papyrech byla nalezena speciální značka pro druhou odmocninu. 

Na základě Pythagorovy věty dospěli starořečtí matematikové k závěru, že podíl délek některých dvojic úseček nelze vyjádřit žádným zlomkem. Proto je nezbytné zaplnit "mezery" mezi racionálními čísly novým druhem čísel. Přesná teorie těchto čísel byla završena teprve ve druhé polovině 19. století, jejich název iracionální čísla navrhl již v r. 1544 německý matematik Michael Stifel (čti štyfel). 

Významným předělem na cestě od výpočtů s konkrétními čísly k symbolickému počítání se stalo dílo Aritmetika, které napsal Řek Diofantos ve 3. století našeho letopočtu. Jsou v něm mj. poprvé užita písmena k označení neznámých čísel v rovnici. Diofantos také navrhl znaky pro druhou až šestou mocninu čísla, které se však v novověku neujaly. Náš způsob zápisu mocnin a² , a³ ,....pochází z r. 1637 od francouzského matematika a filozofa René Descarta (čti dekárta). 

V raném středověku převzali odkaz starořeckých matematiků arabští učenci. Ve vynikající příručce, kterou kolem roku 825 napsal Muhammad ibn Músá al Chvárizmí, je podán výklad řešení některých druhů rovnic. Při tom se využívá operace al-džabr, která spočívá v přičtení stejné hodnoty  k oběma stranám rovnice. Odtud vzniklo slovo algebra ve významu nauky o řešení rovnic, tj. hledání neznámých čísel z jejich vztahů k číslům známým.

Vývoj algebraické symboliky byl dokončen především v Německu, Itálii a Francii v průběhu 15.-17. století. Teprve tehdy byly slovní výklady početních operací nahrazovány symboly a jejich pořadí určováno závorkami. Znaménka + a - ( plus a minus) se poprvé v tištěné podobě objevují r. 1489 v díle Hbité a pěkné počítání pro všechny kupce německého matematika Johanna Widmanna, rodáka z Chebu. Patrně nejrozšířenější matematický symbol = (rovnítko) vymyslel r. 1557 anglický lékař a matematik Robert Recorde (čti rikord) pro svou učebnici aritmetiky a algebry.    

Úvod
  1 Druhá mocnina
  2 Druhá odmocnina
Cvičení 1
  3 Třetí mocnina
  4 Třetí odmocnina
Cvičení 2
  5 Vyšší mocniny
  6 Velká a malá čísla
Cvičení 3
  7 Mocniny v geometrii
  8 Pythagorova věta
Cvičení 4
  9 Číselné výrazy
Cvičení 5
10 Výrazy s proměnnými
11 Sčítání a odčítání mnohočlenů
Cvičení 6
12 Násobení mnohočlenů
13 Dělení mnohočlenů jednočleny
Cvičení 7
14 Úlohy z matematické olympiády
Cvičení 8
15 Souhrnná cvičení
Výsledky průběžných úkolů
Výsledky cvičení
Výsledky souhrnných cvičení