Matematika - Tercie: Geometrické konstrukce

V tomto sešitě se spolu vydáme na další výlet do světa rovinných útvarů, které lze sestavit z přímek, kružnic nebo jejich částí. Tento nevšední svět ideálních tvarů a čar usilovně zkoumali již starořečtí učenci. Jeden z nich, Eukleides z Alexandrie  (4. století př. Kr.), by byl pro náš výlet patrně nejpovolanějším průvodcem. Ve své knize Základy totiž jako první přísně logicky vypracoval takovou teorii geometrického světa, která byly až do 19. století považována za jedinou možnou a nezpochybnitelnou.

Název sešitu napovídá, jak bude tentokrát náš geometrický výlet zaměřen. Po vzoru Eukleida budeme hledat postupy, jak narýsovat útvary požadovaných vlastností, a to pomocí jediných dvou nástrojů pro kreslení přímek a kružnic: pravítka a kružítka. Zdůrazněme, že Eukleidovo pravítko je myšlený nástroj s jedinou rovnou hranou, u níž není ani žádná stupnice, ani jiná značka, jakou je například kolmá ryska na našem obvyklém trojúhelníkovém pravítku. Eukleides totiž předpokládal, že všechny požadované velikosti, které má sestrojovaný útvar mít, jsou předem v rovině narýsovány jako úsečky a úhly; ty je pak možno v průběhu konstrukce přenášet obvyklým způsobem pomocí kružítka. V našich úlohách však budou požadované velikosti zadány číselně a my si je sami v průběhu řešení pomocí pravítka s milimetrovou stupnicí nebo úhloměru narýsujeme. Jednou setrojené úsečky a úhly bychom však měli dále přenášet jako Eukleides kružítkem, a ne měřením (které je většinou méně přesné). K rýsování kolmic máte povoleno použít pravítko s ryskou, i když to možná někteří z vašich prarodičů měli ve škole v hodinách geometrie ještě zakázáno. (Konstrukci kolmice kružítkem si ovšem hned v první kapitole připomeneme.)

Přestože některé konstrukční úlohy mají jednoduchá zadání, jejich řešení pravítkem a kružítkem lidé marně hledali po dlouhá staletí. Tři patrně nejproslulejší z těchto problémů, které nyní uvedeme, pocházejí již z doby antického Řecka.

1. Kvadratura kruhu. Sestrojit čtverec, který má stejný obsah jako daný kruh.

2. Zdvojení krychle. Sestrojit hranu krychle, která má dvakrát větší objem než daná krychle.

3. Trisekce úhlu. Rozdělit daný úhel na tři menší shodné úhly. 

• Na vysvětlenou
• Úvod
• 1  Základní konstrukce
•     Cvičení 1
• 2  Množiny bodů daných vlastností
•     Cvičení 2
• 3  Konstrukční úlohy
•     Cvičení 3
• 4  Konstrukce trojúhelníku
•     Cvičení 4
• 5  Konstrukce čtyřúhelníku
•     Cvičení 5
• 6  Posunutí
•     Cvičení 6
• 7  Úlohy z matematické olympiády
•     Cvičení 7
• 8  Souhrnná cvičení
•     Výsledky průběžných úkolů
•     Výsledky cvičení
•     Výsledky souhrnných cvičení