Matematika - Tercie: Úměrnosti

Poměrným způsobem můžeme mezi sebou srovnávat nejen délky úseček, ale i obsahy rovinných obrazců, objemy těles, hmotnosti předmětů a další druhy údajů, kterým souhrnně říkáme skalární veličiny. Výsledkem poměrného srovnávání dvou hodnot téže veličiny (např. objemu) je vždy číslo bez jednotek, které udává, kolikrát je první hodnota větší než hodnota druhá. Toto číslo nezávisí na tom, jakou jednotku (objemu) k měření obou hodnot vybereme. Jak brzy uvidíme, v praxi se výsledné číslo obvykle zapisuje jako podíl dvou celých čísel. Takovému podílu pak říkáme poměr (daných objemů).

Jak jsme již uvedli, dvě hodnoty téže veličiny prakticky srovnáváme poměrem teprve až když je máme změřeny v určitých jednotkách. Jaká je však podstata měření? Je založeno na tom, že nejprve určitou hodnotu vybereme za jednotku a pak zjišťujeme, jaký násobek této jednotky je roven měřené hodnotě. Každé měření je tedy založeno na poměrném srovnávání (měřené hodnoty a vybrané jednotky). Při tom často nevystačíme s celými násobky, a tak si pomáháme zlomky jednotek. Určitě si vzpomenete, jak jste v primě v prvních hodinách o zlomcích nejprve krájeli na stejné díly koláče, jablka apod. Nyní místo koláčů mluvíme o jednotkách skalárních veličin, jde však o stejný postup. Zlomek (racionální číslo) je tedy výsledek poměrného srovnání dvou hodnot (téže skalární veličiny), které jsou celými násobky téže jednotky. Takové dvě hodnoty se nazývají souměřitelné.

Ve starověku lidé dlouho věřili, že při měření délek, obsahů a objemů vystačí s kladnými racionálními čísly, tj. poměry přirozených čísel. Starořecký matematik Pythagoras a jeho žáci (zvaní pythagorejci) dokonce věřili, že pomocí přirozených čísel lze vyjádřit veškeré vztahy a zákonitosti v přírodě. V "dokonalosti" čísel pak spatřovali záruku harmonie celého vesmíru. Jaké bylo překvapení pythagorejců, když objevili, že délka strany čtverce není souměřitelná s délkou jeho úhlopříčky! Svět geometrie je tedy "bohatší" než svět přirozených čísel! Tento poznatek přivedl řecké matematiky k myšlence zavést čísla geometrickou cestou jako poměry délek úseček. Tak veskrze praktické téma měření veličin sehrálo významnou úlohu v historii názorů na podstatu reálných čísel.    

OBSAH:
Na vysvětlenou
Úvod
  1 Poměr
  2 Úměra
  3 Postupný poměr
  4 Závislost veličin
  5 Přímá úměrnost
  6 Nepřímá úměrnost
  7 Trojčlenka
  8 Měřítko
  9 Diagramy
10 Úlohy z matematické olympiády
11 Souhrnná cvičení