Matematika pro gymnázia - Diferenciální a integrální počet

Učebnice, kterou dostáváte do ruky, je poslední z řady tematicky psaných učebnic matematiky pro vyšší gymnázia. Cílem učebnice je podat základy diferenciálního a integrálního počtu na úrovni odpovídající studentům nejvyšších ročníků gymnázia. 

Diferenciální a integrální počet, který bývá také nazýván stručněji počet infinitezimální, je součást jedné ze základních matematických disciplín, matematické analýzy. Slovo infinitezimální je původu latinského, lat. infinitesimalis značí nekonečně malý a upozorňuje nás, že tento počet byl svými objeviteli založen na nekonečně malých veličinách. Více se dočtete v historické poznámce na konci učebnice. 

Metody matematické analýzy umožňují řešení a přesný popis řady složitých jevů, které by nebylo možné popsat metodami elementární matematiky. Znalosti diferenciálního a integrálního počtu jsou nezbytné nejen při studiu fyziky, ale také chemie - zejména termodynamiky a kinetiky chemických dějů, popisu atomových a molekulových orbitalů apod. Bez diferenciálního a integrálního počtu se neobejde nejen žádný inženýr v oboru strojírenství, stavebnictví, elektrotechniky a ekonomie, ale ani odborníci zabývající se pravděpodobností a statistikou. Metody diferenciálního a integrálního počtu se užívají i v lékařství.

Úspěšné zvládnutí učiva této učebnice předpokládá znalost operací s reálnými čísly, absolutní hodnoty, úprav výrazů, řešení rovnic a nerovnic, základů analytické geometrie v rovině, zejména rovnice přímky, z planimetrie pak pojmů tečna a sečna, obsah rovinného útvaru, ze stereometrie objem rotačních těles. Základním požadavkem je však dobré zvládnutí pojmu funkce včetně znalostí jednotlivých elementárních funkcí na úrovni odpovídající učebnicím (1), (2), se kterými se většina z vás pravděpodobně seznámila v nižších ročnících gymnázia.

Často je diskutována otázka, zda základy infinitezimálního počtu mají, či nemají být zařazeny do středoškolské matematiky. Jsme přesvědčeni, že s těmito základy by měli určitě být seznámeni studenti středních škol, gymnázií i odborných škol, kteří budou v jakékoli menší či větší míře pokračovat ve studiu matematiky na různých typech vysokých škol. Zařazení základů diferenciálního a integrálního počtu do gymnaziálních osnov matematiky má velkou tradici nejen u nás, ale téměř ve všech dalších zemích. Musíme však vycházet z toho, že současný rozsah gymnaziální matematiky není na jednotlivých školách stejný, mimo jiné závisí i na dotaci hodin v jednotlivých ročnících čtyřletého i víceletého studia.

Je třeba si uvědomit, že i ten nejmenší obsah a rozsah diferenciálního a integrálního počtu na střední škole vyžaduje zavedení mnoha motivačních příkladů, do jisté míry někdy i intuitivně, určitá přesnost a systém musejí být zachovány. Bude také záležet na zaměření třídy, na již zmíněném počtu hodin a jistě i na zájmu studentů, v jakém rozsahu bude učebnice probrána.

Předmluva

Přehled použité symboliky

DIFERENCIÁLNÍ POČET

1.  Elementární funkce

• 1.1  Základní vlastnosti funkcí
• 1.2  Přehled elementárních funkcí

2.  Spojitost funkce

• 2.1  Okolí bodu
• 2.2  Spojitost funkce v bodě
• 2.3  Spojitost funkce v intervalu

3.  Limita funkce

• 3.1  Limita funkce v bodě
• 3.2  Limita funkce v nevlastním bodě
• 3.3  Užití limity funkce

4.  Derivace funkce

• 4.1  Derivace funkce v bodě
• 4.2  Derivace elementárních funkcí
• 4.3  Průběh funkce
• 4.4  Užití difereniálního počtu

INTEGRÁLNÍ POČET

5.  Primitivní funkce

• 5.1  Pojem primitivní funkce
• 5.2  Základní vzorce pro primitivní funkce
• 5.3  Integrační metody

6.  Určitý integrál

• 6.1  Pojem určitý integrál
• 6.2  Výpočt určitých integrálů
• 6.3  Užití integrálního počtu

Historické poznámky

Výsledky

Rejstřík