Matematika pro gymnázia - Rovnice a nerovnice

Snad ve všech matematických tématech, která budete na gymnáziu probírat, se setkáte s různými typy rovnic a nerovnic. Jejich řešení je základní a nezbytnou matematickou dovedností. K získání této dovednosti by vám měla dopomoci tato učebnice.
Je věnována především lineárním a kvadratickým rovnicím a nerovnicím s jednou i více neznámými a jejich soustavám. V učebnici jsou rovněž vyloženy postupy při řešení některých dalších rovnic a nerovnic, které lze na lineární a kvadratické rovnice a nerovnice převést.
Najdete zde velké množství příkladů. Obecné úvahy jsou vždy motivovány a ilustrovány řešenými příklady. Každý článek je navíc zakončen mnoha neřešenými úlohami; obtížnější z nich jsou označeny hvězdičkou. Výsledky neřešených úloh jsou uvedeny na konci učebnice.
K úvodnímu slovu připojíme několik historických poznámek. Omezíme se na metody řešení algebraických rovnic různých stupňů.
Mnoho myšlenek a postupů, které v této učebnici najdete, znali matematici již ve starověku. Řadu úloh, které dnes řešíme lineárními rovnicemi, řešili ve starém Egyptě a v Mezopotámii různými důvtipnými postupy (metodou chybného předpokladu, pomocí tabulek apod.). V babylonských klínopisných textech (kolem r. 1950 př.n.l.) nacházíme početní algoritmus, jenž odpovídá našemu vzorci vyjadřujícímu kořeny kvadratické rovnice.
Matematická symbolika, kterou dnes při řešení rovnic používáme (symboly operací, koeficienty,  označení neznámé i samotný zápis rovnice), byla v Evropě postupně rozvinuta až v 15. - 17. století.
Algebraické metody řešení rovnic třetího a čtvrtého stupně byly objeveny a rozpracovány v první polovině 16. století. Zasloužili se o to především italští matematici Scipione del Ferro (1465?-1526), Niccolo Fontana zvaný Tartaglia (1499? - 1557), Girolamo Cardano (1501 – 1576) a Ludovico Ferrari (1522 – 1565).
V následujícím období se matametici snažili nalést podobné algebraické postupy pro řešení rovnic vyšších stupňů. Počáteční optimismus, že hledané vzorce budou brzy objeveny, se však pomalu vytrácel. Norský matematik Niels Henrik  Abel (1802 – 1829) dokázal, že algebraická rovnice pátého stupně není algebraicky řešitelná (tj. že neexistuje obecný vzorec vyjadřující kořeny takové rovnice pomocí jejích koeficientů a operací sčítání, odčítání, násobení, dělení a odmocňování). Mladý francouzský matematik Évariste Galois (1811 – 1832) načrtl (v noci před soubojem, ve kterém zahynul) teorii popisující mimo jiné všechny rovnice, které jsou algebraickou cestou řešitelné.
O něco dříve byl dokázán jiný důležitý výsledek, tzv. základní věta algebry. Tato věta říká, že každá algebraická rovnice f ( x ) = 0, kde f ( x ) je mnohočlen alespoň prvního stupně s komplexními  koeficienty, má v komplexním oboru alespoň jeden kořen. Německý matematik Karl Friedrich  Gauss ( 1777 – 1855) dokázal základní větu algebry čtyřmi různými způsoby.
Přejeme vám, aby se vám s učebnicí dobře pracovalo a abyste se naučili rovnice a nerovnice obratně řešit.

1  Rovnice, nerovnice a jejich řešení

2  Lineární rovnice a nerovnice s jednou neznámou a jejich soustavy

• 2.1  Lineární rovnice
• 2.2  Lineární nerovnice
• 2.3  Grafické řešení lineární rovnice a nerovnice
• 2.4  Soustavy lineárních nerovnic

 3  Některé rovnice a nerovnice s jednou neznámou, které lze převést na lineární

• 3.1  Rovnice v součinovém tvaru
• 3.2  Nerovnice v součinovém tvaru
• 3.3  Rovnice v podílovém tvaru
• 3.4  Nerovnice v podílovém tvaru
• 3.5  Rovnice s absolutními hodnotami
• 3.6  Nerovnice s absolutními hodnotami

 4  Lineární rovnice a nerovnice s více neznámými a jejich soustavy

• 4.1  Lineární rovnice se dvěma neznámými
• 4.2  Lineární nerovnice se dvěma neznámými
• 4.3  Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými
• 4.4  Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic se dvěma neznámými
• 4.5  Soustavy lineárních rovnic s více neznámými

 5  Kvadratické rovnice a nerovnice a rovnice vyšších stupňů

• 5.1  Neúplná kvadratická rovnice
• 5.2  Obecná kvadratická rovnice
• 5.3  Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice
• 5.4  Grafické řešení kvadratické rovnice
• 5.5  Kvadratická rovnice
• 5.6  Grafické řešení kvadratické rovnice
• 5.7  Rovnice vyšších stupňů

 6  Některé rovnice a nerovnice, které lze převést na kvadratické a lineární

• 6.1  Rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru
• 6.2  Rovnice a nerovnice s absolutními hodnotami
• 6.3  Rovnice a nerovnice s neznámou pod odmocninou
• 6.4  Soustavy lineárních a kvadratických rovnic s více neznámými
• 6.5  Použití substituce

 7  Rovnice a nerovnice s parametry

• 7.1  Rovnice s parametry
• 7.2  Nerovnice s parametry

Výsledky úloh

Seznam použitých matematických symbolů a značek

Rejstřík