Matematika pro gymnázia - Komplexní čísla

Tato učebnice vás seznámí s komplexními čísly. Probíráte se jejími stránkami a v duchu se ptáte, zda látka, která vás čeká, nebude příliš obtížná a zda ji úspěšně zvládnete. Uvědomte si však, že tuto situaci jste během školní docházky prožili už mnohokrát a vždycky se ukázalo, že to nebylo tak těžké, jak to vypadalo na začátku. Ani v tomto případě se nemusíte ničeho obávat - učivo o komplexních číslech neobsahuje nic, čemu byste nemohli porozumět. Nenecháte-li se odradit tím, že některé vlastnosti komplexních čísel se vám zpočátku budou zdát trochu neobvyklé, poznáte brzy, že nejsou takové, aby vám v pochopení probíraného učiva zabránily.

Jedna z vlastností komplexních čísel, kterou se odlišují od čísel reálných, je to, že se nedají vzájemně jednoznačně zobrazit na přímku. Zatímco reálná čísla se dají na přímce znázornit tak, že každému reálnému číslu přiřadíme právě jeden její bod a každému bodu této přímky přiřadíme jediné reálné číslo, pro komplexní čísla takové jednoduché přiřazení neexistuje. Jak však uvidíme ve druhé kapitole, komplexní čísla je možné vzájemně jednoznačně zobrazit na rovinu - každému bodu roviny lze přiřadit právě jedno komplexní číslo a naopak každému komplexnímu číslu se dá přiřadit jediný bod roviny. Tento fakt znamená, že na komplexní čísla se můžeme dívat jako na body roviny, takže některé jejich vlastnosti se dají vizuálně znázornit a tím i lépe pochopit. Odtud je také vidět, že reálná čísla se dají považovat za speciální případ čísel komplexních, neboť přímka, jejímž bodům jsou přiřazena reálná čísla, je částí roviny, jejímž bodům odpovídají čísla komplexní.

V době, kdy matematici začínali pracovat s komplexními čísly, viděli v nich někteří něco, "co není z tohoto světa". Tehdy také vznikl název "imaginární číslo", který naznačoval, že se jedná o čísla pomyslná, zdánlivá. Dneska imaginární čísla považujeme za body roviny, které leží mimo přímku zobrazující čísla reálná, a nic tajemného a neskutečného v nich nevidíme, ani nehledáme. V dřívějších dobách se rovněž zdálo, že komplexní čísla nemohou mít žádné praktické použití. I to už dávno není pravda - dnes existuje celá řada technických oborů, ve kterých komplexní čísla hrají důležitou a nezastupitelnou roli. A v matematice samotné komplexní čísla umožnila nejen vznik nových odvětví, ale přispěla i k pochopeí souvislostí mezi partiemi zdánlivě nijak nesouvisejícími.   

  1  Zavedení a základní vlastnosti komplexních čísel

• 1.1  Základní vlastnosti čísel reálných
• 1.2  Zavedení komplexních čísel
• 1.3  Sčítání a násobení komplexních čísel
• 1.4  Dělení komplexních čísel, komplexní čísla sdružená
• 1.5  Absolutní hodnota komplexního čísla
•        Shrnutí
•        Úkoly k opakování

  2  Geometrické znázornění komplexních čísel

• 2.1  Komplexní čísla jako body Gaussovy roviny
• 2.2  Goniometrický tvar komplexního čísla
• 2.3  Součin a podíl komplexních čísel v goniometrickém tvaru
• 2.4  Moivreova věta
• 2.5  Komplexní čísla jako vektory v Gaussově rovině
•         Shrnutí
•         Úlohy k opakování

  3  Řešení rovnic v oboru komplexních čísel

• 3.1  Kvadratické rovnice s reálnými koeficienty
• 3.2  Binomické rovnice
• 3.3  Kvadratické rovnice s komplexními koeficienty
•        Shrnutí III
•        Úlohy k opakování

   4  Tucet netuctových úloh na závěr

• Z historie komplexních čísel
• Výsledky úloh
• Seznam použitých matematických symbolů a značek
• Rejstřík