Matematika - Kvarta: Rovnice a jejich soustavy

Matematická disciplína zvaná algebra se historicky utvářela jako nauka o řešení rovnic. S jejími základy jsme se seznámili už dříve: poznali jsme "jazyk" mnohočlenů a jeho pravidla, která nám umožnila zapisovat a řešit jednoduché rovnice s jednou neznámou, pokud je bylo možné převést ekvivalentními úpravami na lineární rovnice. V této dovednosti se nyní nejprve zdokonalíme. Pak začneme řešit složitější rovnice, které znali a řešili již staří Babylóňané a které se dnes nazývají kvadratické rovnice s jednou neznámou.

Starořečtí učenci spojovali kvadratické rovnice s důležitými geometrickými úlohami. Jednu z nich, tzv. problém zlatého řezu, uvádí Eukleides (4. stol. př. Kr.) ve své knize Základy takto: "Rozdělit úsečku délky a tak, aby obdélník sestrojený z celé úsečky a z jedné z obou částí měl týž obsah jako čtverec sestrojený ze zbývající části úsečky". Označíme-li x stranu neznámého čtverce, pak citovaná úloha se vlastně ptá na řešení rovnice a(a - x) = x ², která obsahuje "čtverec" neboli "kvadrát" x² neznámé x . Dodejme pro zajímavost, že uvedenou kvadratickou rovnici můžeme rovněž zapsat jako úměru (a - x) : x = x : a a přečíst: " Jedna část úsečky se má ke druhé části stejně, jako se má druhá část k celé úsečce". Příčinou, proč se matematikové zabývali zlatým řezem, byl předpoklad, že úsečky dělené v tomto poměru jsou základem krásy v architektuře a ve výtvarném umění a že se zlatý řez vyskytuje v proporcích lidského těla, rostlin i v uspořádání vesmírných těles. 

V tomto sešitě budeme také poprvé řešit rovnice, ve kterých vystupuje ne jedna, ale více neznámých. K určení jejich hodnot obvykle jedna taková rovnice nestačí, zpravidla je zapotřebí znát tolik "navzájem nezávislých" rovnic, kolik je neznámých. I když se v našem textu omezíme pouze na soustavy dvou rovnic se dvěma neznámými, metody řešení, které si osvojíme, lze uplatnit i při řešení soustav s velkým počtem rovnic a neznámých. Vysvětleme v posledním odstavci, proč je řešení "rozsáhlých" soustav rovnic v současné matematické praxi tak časté a významné.

Proměnné veličiny, které popisují průběh mnoha přírodních jevů nebo technických procesů, se řídí zákony, vyjádřenými tzv. diferenciáními rovnicemi. Takové rovnice nelze algebraicky (tj. pomocí aritmetických operací a konečného počtu známých a neznámých hodnot) vůbec zapsat a k vypočtu jejich řešení v naprosté většině případů neexistuje žádný vzorec. Přesto je možné vypočítat alespoň přibližné hodnoty těchto řešení, a to tak, že zkoumanou diferenciální rovnici zaměníme vhodnou soustavou algerbaických rovnic. Přitom často platí, že takové "přiblížení" má tím menší chybu, čím početnější soustavu rovnic k výpočtu zvolíme. Při praktických výpočtech jsme ovšem vždy omezeni tím, jak velké soustavy jsme schopni v "přijatelném" čase vyřešit. Dnes už to samozřejmě nezávisí na počtářských schopnostech lidí, ale na operační rychlosti výpočetní techniky. (Zdůrazněme však, že jsou to lidé, kteří tvorbou programů počítačům celý postup výpočtů přesně předepisují). Současné nejvýkonější počítače umožňují v potřebném čase řešit například soustavy rovnic s desetitisíci neznámými, kterými se vyhodnocují aktuální údaje o průběhu kosmického letu, a podle jejich výsledků se rozhoduje o dalším řízení letu. Přemýšlíme-li proto někdy o vzniku a rozvoji kosmonautiky, nezapomeňme, že lety do vesmíru se staly skutečností díky dvěma vynálezům: raketovému motoru a počítači.     

Na vysvětlenou 
Úvod 
  1 Rovnice a jejich úpravy 
Cvičení 1 
  2 Rovnice s neznámou ve jmenovateli 
Cvičení 2 
  3 Kvadratické rovnice 
Cvičení 3 
  4 Slovní úlohy 1 
Cvičení 4 
  5 Úlohy o společné práci 
Cvičení 5 
  6 Úlohy o směsích 
Cvičení 6 
  7 Rovnice s více neznámými 
Cvičení 7 
  8 Slovní úlohy 2 
Cvičení 8 
  9 Úlohy z matematické olympiády 
Cvičení 9 
10 Souhrnná cvičení 
Výsledky průběžných úkolů 
Výsledky cvičení 
Výsledky souhrnných cvičení