Matematika - Tercie: Rovnice a nerovnice

Lidé se odedávna zabývají početními úkoly, které je nesnadné, či dokonce nemožné řešit pouhým úsudkem a přímým výpočtem. Dnes dobře víme, že často lze takové úkoly zvládnout postupem, který byl znám již starověkým učencům: Nemůžeme-li hledané výsledky určit přímo, sestavíme nejdříve jednu nebo několik rovnic, které vystihují zkoumaný úkol a které zahrnují známé i neznámé údaje. Potom tyto rovnice řešíme, tj. počítáme z nich hledané výsledky.

Zmíněná metoda se po dlouhá staletí vyvíjela a zdokonalovala. Dnes už si ani nedokážeme představit, že bychom mohli rovnice sestavovat a řešit bez vhodné symboliky pro aritmetické operace a bez označování neznámých údajů písmeny. O vývoji matematických zápisů jste se mohli dočíst v úvodu k předchozímu sešitu Výrazy 1. Pokud jste zvládli i další obsah sešitu, naučili jste se základům "algebraického jazyka" a jste připraveni s tímto jazykem začít pracovat, tj. řešit rovnice. Právě tomu je věnovám sešit, který držíte v rukou.

Z rozsáhlé nauky o řešení rovnic se prozatím seznámíte pouze se základními obraty, kterým říkáme ekvivalentní úpravy rovnic. Pomocí nich se naučíte řešit významnou skupinu rovnic, které dnes nazýváme lineárními. Takové rovnice už řešili staří Egypťané a Babyloňané. Uvidíme, že lineární rovnice lze úspěšně využít při řešení mnoha zajímavých praktických úloh, např. úloh o pohybech se stálými rychlostmi.

Místo rovnic vyjadřujeme podmínky některých situací nerovnicemi. Bude proto užitečné, budeme-li umět pracovat s nerovnostmi mezi reálnými čísly stejně dobře jako s rovnostmi. Nejprve se naučíme rozlišovat ostré a neostré nerovnosti a zapisovat číselné množiny zvané intervaly. Pak se budeme věnovat řešení lineárních nerovnic pomocí ekvivalentních úprav. Zjistíme, co mají oba postupy pro rovnice a nerovnice společného a v čem se liší.

I když se v tomto sešitě nebudeme zabývat rovnicemi, které nejsou lineární, poznamenejme, že výsledky bádání o takových rovnicích (dosažené v Evropě v 16. až 19. století) nejen rozšířili oblast uplatnění matematiky v přírodních vědách, ale obohatily i samotnou matematiku. Přispěly totiž k zobecnění pojmu čísla a mimo jiné daly odpověď na otázku, které geometrické konstrukce nelze provést pomocí pravítka a kružítka. Byl objeven i pozoruhodný poznatek, že vzorce pro přesná řešení mnohých důležitých rovnic, které matematikové dlouho usilovně hledali, vůbec neexistují, takže je zbytečné v tomto hledání dále pokračovat.     

OBSAH:
Na vysvětlenou
Úvod
  1 Rovnost a rovnice
  2 Ekvivalentní úpravy rovnic
  3 Slovní úlohy řešené rovnicemi
  4 Výpočet neznámé ze vzorce
  5 Úlohy o pohybu
  6 Nerovnosti
  7 Intervaly
  8 Nerovnice a jejich řešení
  9 Úlohy z matematické olympiády
10 Souhrnná cvičení
Výsledky průběžných úkolů
Výsledky cvičení
Výsledky souhrnných cvičení